Une fragilité numérique extrême
Des mathématiciens ont récemment mis en lumière une nouvelle catégorie de nombres premiers qualifiés de « délicats sur le plan numérique ». Ces nombres premiers, d’une longueur infinie, possèdent une caractéristique singulière qui les rend particulièrement instables. Telle Cendrillon aux douze coups de minuit, ils perdent leur statut privilégié pour redevenir des nombres composés dès lors qu’un seul de leurs chiffres est modifié.
Cette notion de « délicatesse numérique » implique que ces nombres premiers comportent une infinité de chiffres et que le changement de n’importe lequel d’entre eux, pour n’importe quelle autre valeur, entraîne inévitablement un résultat composé. Pour illustrer ce concept complexe par un exemple plus accessible, on peut observer le nombre 101, qui est un nombre premier.
Si l’on modifie les chiffres de ce nombre pour obtenir 201, 102 ou encore 111, on obtient alors des valeurs divisibles par 3. Par conséquent, ces nouvelles valeurs deviennent des nombres composés. C’est ce mécanisme de basculement immédiat vers un nombre divisible qui définit la nature délicate de ces objets mathématiques fascinants.
L’extension vers les zéros infinis
Bien que cette idée théorique circule depuis des décennies, des chercheurs de l’Université de Caroline du Sud ont réussi à établir une niche encore plus spécifique au sein de cette famille : les nombres premiers « largement délicats sur le plan numérique » (widely digitally delicate primes). Cette sous-catégorie se distingue par l’ajout d’une infinité de « zéros de tête ».
Ces zéros placés au début ne changent pas la valeur du nombre premier d’origine, mais ils jouent un rôle crucial lorsqu’on teste leur délicatesse. Prenons l’exemple du nombre 101 transformé en 000101. La valeur reste première et les zéros semblent n’être là que pour la forme. Cependant, si l’on modifie ces zéros, par exemple en changeant 000101 en 100101, on obtient un nombre composé divisible par 3.
Les mathématiciens estiment qu’il existe une infinité de ces nombres premiers largement délicats. Toutefois, un paradoxe subsiste : jusqu’à présent, ils n’ont pas réussi à produire un seul exemple concret. Ils ont pourtant testé tous les nombres premiers jusqu’à 1 000 000 000 (un milliard) en y ajoutant des zéros de tête et en effectuant les calculs nécessaires, sans succès.
Une existence prouvée mais invisible
C’est Michael Filaseta, professeur de mathématiques à l’Université de Caroline du Sud, accompagné de Jeremiah Southwick, un ancien étudiant diplômé, qui a mené ces travaux sur les nombres largement délicats. Ils ont publié l’ensemble de leurs conclusions dans la revue spécialisée Mathematics of Computation.
Même en l’absence d’exemples spécifiques à présenter, le duo a formellement prouvé que ces nombres existent bel et bien en base 10. Cette précision indique qu’il s’agit de nombres utilisant notre système de comptage classique de 0 à 9, par opposition au système binaire (base 2) qui n’utilise que des 0 et des 1.
Leur démonstration va plus loin en affirmant qu’il existe une infinité de ces nombres. La recherche a permis de valider théoriquement leur présence au sein de l’ensemble des entiers, malgré l’incapacité actuelle des outils de calcul à en isoler un spécimen parmi le premier milliard de nombres premiers testés.
La méthode des seaux
La preuve apportée par les chercheurs repose sur une logique qui s’apparente aux règles simples de la division, mais poussées à un niveau extrême. Certaines familles de nombres, comme ceux contenant des 9 ou dont la somme atteint un certain montant, peuvent être prouvées globalement puis classées dans des « seaux » distincts. Plus il y a de seaux, plus la preuve « couvre » une grande partie de l’ensemble gigantesque des valeurs entières.
Pour expliquer la complexité de cette démarche, Steve Nadis, journaliste pour Quanta, rapporte les propos suivants : « La situation impliquant des nombres premiers largement délicats sur le plan numérique est plus compliquée, bien sûr. Vous aurez besoin de beaucoup plus de seaux, quelque chose de l’ordre de 1 025 000, et dans l’un de ces seaux, chaque nombre premier est garanti de devenir composé si l’un de ses chiffres, y compris ses zéros de tête, est augmenté. »
Cette approche massive par « covering » (couverture) permet de cerner mathématiquement l’existence de ces entités sans avoir besoin de les pointer individuellement. C’est une démonstration d’existence pure qui ne nécessite pas l’exhibition de l’objet trouvé.
Au-delà de l’application pratique
Il est important de noter que ce type de mathématiques ne s’étend pas vers une application pratique immédiate. Il s’agit avant tout de théorie des nombres, une discipline qui fonctionne principalement pour elle-même, comme un moyen d’explorer les limites absolues des mathématiques.
Depuis que Michael Filaseta et Jeremiah Southwick ont publié leurs preuves, d’autres cas particuliers de nombres délicats sont déjà à l’étude. D’autres mathématiciens utilisent désormais leurs recherches comme point de départ pour explorer de nouvelles variations.
Les questions se multiplient : que se passerait-il si l’on prenait le nombre 101 et qu’on y insérait un 1 pour obtenir 1011 ? Et si l’on retirait un chiffre pour obtenir 10 ? Les possibilités offertes par ces manipulations numériques sont virtuellement illimitées.
Selon la source : popularmechanics.com
Créé par des humains, assisté par IA.
Des mathématiciens ont découvert un nouveau type de nombre premier
Ce contenu a été créé avec l'aide de l'IA.
